Model matematika baru memprediksi stabilitas simpul

Model matematika baru memprediksi stabilitas simpul
Contoh knot overhand. Kredit: Massachusetts Institute of Technology

Dalam berlayar, panjat tebing, konstruksi, dan aktivitas apa pun yang membutuhkan pengamanan tali, simpul tertentu dikenal lebih kuat dari yang lain. Setiap pelaut berpengalaman tahu, misalnya, bahwa satu jenis simpul akan mengamankan selembar ke kepala, sementara yang lain lebih baik untuk memasang perahu ke tiang pancang.

Tapi apa sebenarnya yang membuat satu simpul lebih stabil dari yang lain belum dipahami dengan baik, sampai sekarang.

Matematikawan dan insinyur MIT telah mengembangkan model matematika yang memprediksi seberapa stabil simpul, berdasarkan pada beberapa sifat utama, termasuk jumlah persimpangan yang terlibat dan arah di mana segmen tali memuntir ketika simpul ditarik dengan kencang.

“Perbedaan halus antara simpul-simpul ini menentukan secara kritis apakah simpul itu kuat atau tidak,” kata Jörn Dunkel, associate professor matematika di MIT. “Dengan model ini, kamu harus bisa melihat dua simpul yang hampir identik, dan bisa mengatakan mana yang lebih baik.”

“Pengetahuan empiris yang disempurnakan selama berabad-abad telah mengkristal apa simpul terbaik,” tambah Mathias Kolle, Profesor Asosiasi Pengembangan Karir Internasional Rockwell di MIT. “Dan sekarang model menunjukkan mengapa.”

Dunkel, Kolle, dan Ph.D. siswa Vishal Patil dan Joseph Sandt telah mempublikasikan hasil mereka hari ini di jurnal Science .

Warna tekanan

Pada 2018, kelompok Kolle merekayasa serat yang dapat direnggangkan yang berubah warna sebagai respons terhadap tekanan atau tekanan. Para peneliti menunjukkan bahwa ketika mereka menarik serat, warnanya berubah dari satu warna pelangi ke warna lain, terutama di daerah yang mengalami tekanan atau tekanan terbesar.

Kolle, seorang profesor teknik mesin, diundang oleh departemen matematika MIT untuk memberikan ceramah tentang serat. Dunkel hadir di antara hadirin dan mulai membuat ide: Bagaimana jika serat pengindra tekanan dapat digunakan untuk mempelajari stabilitas dalam simpul?

Matematikawan telah lama tergelitik oleh simpul, sedemikian rupa sehingga simpul fisik telah mengilhami seluruh subbidang topologi yang dikenal sebagai teori simpul — studi tentang simpul teori yang ujung-ujungnya, tidak seperti simpul yang sebenarnya, digabungkan untuk membentuk pola yang berkelanjutan. Dalam teori simpul, ahli matematika berusaha untuk menggambarkan simpul dalam istilah matematika, bersama dengan semua cara yang dapat memutar atau cacat sambil tetap mempertahankan topologi, atau geometri umum.

“Dalam teori simpul matematika , Anda membuang semua yang berhubungan dengan mekanika,” kata Dunkel. “Anda tidak peduli apakah Anda memiliki serat yang kaku versus serat lunak — itu adalah simpul yang sama dari sudut pandang seorang ahli matematika. Tetapi kami ingin melihat apakah kami dapat menambahkan sesuatu pada pemodelan matematis dari simpul yang memperhitungkan sifat mekaniknya,” untuk bisa mengatakan mengapa satu simpul lebih kuat dari yang lain. “

Dunkel dan Kolle bekerja sama untuk mengidentifikasi apa yang menentukan stabilitas simpul. Tim pertama kali menggunakan serat Kolle untuk mengikat berbagai simpul, termasuk trefoil dan simpul angka delapan – konfigurasi yang akrab bagi Kolle, yang merupakan pelaut yang rajin, dan untuk anggota kelompok Dunkel yang panjat tebing. Mereka memotret setiap serat, mencatat di mana dan kapan serat berubah warna, bersama dengan kekuatan yang diterapkan pada serat saat ditarik dengan ketat.

Para peneliti menggunakan data dari percobaan ini untuk mengkalibrasi model yang sebelumnya diterapkan kelompok Dunkel untuk menggambarkan jenis serat lain: spaghetti. Dalam model itu, Patil dan Dunkel menggambarkan perilaku spageti dan struktur seperti tali yang fleksibel dengan memperlakukan setiap untai sebagai rantai manik-manik kecil yang terhubung dengan pegas. Cara setiap belokan dan deformasi pegas dapat dihitung berdasarkan gaya yang diterapkan pada masing-masing pegas.

Mahasiswa Kolle, Joseph Sandt, sebelumnya telah menyusun peta warna berdasarkan eksperimen dengan serat, yang menghubungkan warna serat dengan tekanan yang diberikan pada serat tersebut. Patil dan Dunkel memasukkan peta warna ini ke dalam model spageti mereka, kemudian menggunakan model itu untuk mensimulasikan simpul yang sama yang telah diikat oleh para peneliti secara fisik menggunakan serat. Ketika mereka membandingkan simpul dalam percobaan dengan yang ada dalam simulasi, mereka menemukan pola warna pada keduanya hampir sama — suatu tanda bahwa model tersebut secara akurat mensimulasikan distribusi tekanan pada simpul.

Dengan percaya diri pada model mereka, Patil kemudian mensimulasikan simpul yang lebih rumit, mencatat simpul mana yang mengalami lebih banyak tekanan dan karena itu lebih kuat daripada knot lainnya. Begitu mereka mengelompokkan simpul berdasarkan kekuatan relatifnya, Patil dan Dunkel mencari penjelasan mengapa simpul tertentu lebih kuat daripada yang lain. Untuk melakukan ini, mereka membuat diagram sederhana untuk simpul-simpul nenek, karang, pencuri, dan kesedihan yang terkenal, bersama dengan yang lebih rumit, seperti carrick, zeppelin, dan kupu-kupu Alpine.

Setiap diagram simpul menggambarkan pola kedua helai dalam simpul sebelum ditarik dengan kencang. Para peneliti menyertakan arah setiap segmen untai saat ditarik, bersama dengan tempat untai bersilangan. Mereka juga mencatat arah setiap segmen untai berotasi saat simpul dikencangkan.

Dalam membandingkan diagram simpul dengan berbagai kekuatan, para peneliti dapat mengidentifikasi “aturan penghitungan” umum, atau karakteristik yang menentukan stabilitas simpul. Pada dasarnya, sebuah simpul lebih kuat jika memiliki lebih banyak penyeberangan untai, serta lebih banyak “fluktuasi twist” – perubahan arah rotasi dari satu segmen untai ke yang lain.

Misalnya, jika segmen serat diputar ke kiri pada satu persimpangan dan diputar ke kanan pada persimpangan di sebelahnya saat simpul ditarik dengan kencang, ini menciptakan fluktuasi twist dan dengan demikian menentang gesekan, yang menambah stabilitas pada simpul. Namun, jika segmen diputar ke arah yang sama pada dua persimpangan yang bersebelahan, tidak ada fluktuasi putaran, dan untaian lebih cenderung berputar dan tergelincir, menghasilkan simpul yang lebih lemah.

Mereka juga menemukan bahwa simpul dapat dibuat lebih kuat jika memiliki lebih banyak “sirkulasi”, yang mereka definisikan sebagai daerah dalam simpul di mana dua untai paralel saling berhadapan satu sama lain dalam arah yang berlawanan, seperti aliran melingkar.

Dengan memperhitungkan aturan penghitungan sederhana ini, tim dapat menjelaskan mengapa simpul karang, misalnya, lebih kuat daripada simpul nenek. Walaupun keduanya hampir identik, simpul terumbu memiliki jumlah fluktuasi twist yang lebih tinggi, menjadikannya konfigurasi yang lebih stabil. Demikian juga, simpul zeppelin, karena sirkulasi dan fluktuasi putaran yang sedikit lebih tinggi, lebih kuat, meskipun mungkin lebih sulit untuk dilepaskan, daripada kupu-kupu Alpine — simpul yang biasa digunakan dalam memanjat.

“Jika Anda mengambil keluarga simpul yang sama dari mana pengetahuan empiris memilih satu sebagai” yang terbaik, “sekarang kita dapat mengatakan mengapa hal itu layak mendapatkan perbedaan ini,” kata Kolle, yang membayangkan model baru dapat digunakan untuk mengonfigurasi simpul berbagai kekuatan yang sesuai dengan aplikasi tertentu. “Kita bisa bermain simpul terhadap satu sama lain untuk digunakan dalam menjahit, berlayar, memanjat, dan konstruksi. Ini luar biasa.”

oleh Jennifer Chu, Institut Teknologi Massachusetts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *